METODE
MONTE CARLO
Monte Carlo adalah
algoritma komputasi untuk mensimulasikan berbagai perilaku sistem fisika dan
matematika. Penggunaan klasik metode ini adalah untuk mengevaluasi integral
definit, terutama integral multidimensi dengan syarat dan batasan yang rumit.
Simulasi Monte Carlo sangat penting dalam fisika komputasi dan bidang terapan
lainnya, dan memiliki aplikasi yang beragam mulai dari penghitungan termodinamika
kuantum esoterik hingga perancangan aerodinamika. Metode ini terbukti efisien
dalam memecahkan persamaan diferensial integral medan radian, sehingga metode
ini digunakan dalam penghitungan iluminasi global yang menghasilkan
gambar-gambar fotorealistik model tiga dimensi, dimana diterapkan dalam video
games, arsitektur, perancangan, film yang dihasilkan oleh komputer, efek-efek
khusus dalam film, bisnis, ekonomi, dan bidang lainnya.
Karena algoritma ini
memerlukan pengulangan (repetisi) dan penghitungan yang amat kompleks, metode
Monte Carlo pada umumnya dilakukan menggunakan komputer, dan memakai berbagai
teknik simulasi komputer. Algoritma Monte Carlo adalah metode Monte Carlo
numerik yang digunakan untuk menemukan solusi matematis (yang dapat terdiri
dari banyak variabel) yang sulit dipecahkan, misalnya dengan kalkulus integral,
atau metode numerik lainnya.
A. Sejarah
Metode Monte Carlo
Ide pertama dicetuskan Enrico Fermi di tahun 1930an.
Pada saat itu para fisikawan di Laboratorium Sains Los Alamos sedang memeriksa
perlindungan radiasi dan jarak yang akan neutron tempuh melalui beberapa macam
material. Namun data yang didapatkan tidak dapat membantu untuk memecahkan
masalah yang ingin mereka selesaikan karena ternyata masalah tersebut tidak
bisa diselesaikan dengan penghitungan analitis.
Lalu John von Neumann dan Stanislaw Ulam memberikan
ide untuk memecahkan masalah dengan memodelkan eksperimen di komputer. Metode
tersebut dilakukan secara untung-untungan. Takut hasil karyanya dicontek orang,
metode tersebut diberi kode nama Monte Carlo
Nama Monte Carlo‖ kemudian akhirnya menjadi populer
oleh Enrico Fermi, Stanislaw Ulam, dan rekan-rekan mereka sesama peneliti
fisika. Nama Monte Carlo merujuk kepada sebuah kasino terkenal di Monako. Di
sanalah paman dari Stanislaw Ulam sering meminjam uang untuk berjudi. Kegunaan
dari ketidakteraturan dan proses yang berulang memiliki kesamaan dengan aktivitas
di kasino.
Hal yang berbeda dari simulasi Monte Carlo adalah ia
membalikkan‖ bentuk simulasi yang umum. Metode ini akan mencari kemungkinan
terlebih dahulu sebelum memahami permasalahan yang ada. Sementara umumnya
menggunakan simulasi untuk menguji masalah yang sebelumnya telah dipahami.
Walaupun pendekatan terbalik ini sudah ada sejak lama, namun baru setelah
metode Monte Carlo populer pendekatan ini diakui
Penggunaan metode paling awal diketahui digunakan
oleh Enrico Fermi di tahun 1930. Pada waktu itu beliau menggunakan metode acak
untuk menghitung sifat dari neutron yang baru ditemukan. Baru setelah komputer
pertama diperkenalkan sekitar tahun 1945 metode Monte Carlo mulai dipelajari
lebih lanjut. Metode ini telah digunakan di bidang fisika, kimia fisika, dan
lain-lain. Rand Corporation dan U.S. Air Force merupakan sponsor utama dalam
pengembangan metode Monte Carlo pada waktu itu dan metode ini semakin
berkembang di berbagai bidang.
Penggunaan metode Monte Carlo membutuhkan sejumlah
besar angka acak sehingga seiring dengan berkembangnya metode ini, berkembang
pula pseudorandom number generator yang ternyata lebih efektif digunakan
daripada tabel angka acak yang terlah sebelumnya sering digunakan untuk
pengambilan sampel statistik.
B. Penerapan
Metode
Metode Monte Carlo memiliki banyak penerapan di
berbagai bidang. Penerapan metode Monte Carlo antara lain dalam bidang:
1. Grafis.
Digunakan
untuk penjejakan sinar.
2. Biologi.
Mempelajari
jaringan biologi.
3. Keuangan
Dalam
bidang ini, Monte Carlo digunakan untuk menilai dan menganalisis model-model
finansial.
4. Fisika.
Cabang-cabang
fisika yang menggunakan antara lain fisika statistik dan partikel. Dalam fisika
partikel, digunakan untuk eksperimen. Dalam ilmu nuklir metode ini juga banyak
diterapkan
5. Ilmu
probabilitas dan statistik.
Digunakan
untuk mensimulasikan dan memahami efek keberagaman.
6. Ilmu
komputer.
Misalnya
Algoritma Las Vegas dan berbagai permainan komputer.
7. Kimia.
Digunakan
untuk simulasi yang melibatkan kluster-kluster atomik.
8. Ilmu lingkungan.
Metode
ini digunakan untuk memahami perilaku kontaminan.
Masih banyak lagi penerapan metode Monte Carlo di
berbagai bidang. Di makalah ini mari kita bahas satu persatu.
C. Penerapan
Metode untuk Menghitung π
Seperti yang telah disebutkan di atas, metode Monte
Carlo dapat diaplikasikan untuk menghitung π. Penghitungan π dengan menerapkan
metode Monte Carlo adalah sebagai berikut.
Langkah pertama, buatlah sebuah persegi dengan
panjang sisi 2r. Lalu gambarlah sebuah lingkaran di dalam persegi tersebut
dengan jari-jari lingkaran sepanjang r. Gambar dapat dilihat di Gambar 1.
Gambar 1
Untuk mempermudah perhitungan, bagian yang akan
ditinjau hanyalah satu kuadran dari sebuah lingkaran saja. Ilustrasinya adalah
seperti gambar di bawah ini. Untuk mempermudah, bagian lingkaran kita warnai
jingga sementara sisanya kita biarkan putih.
Gambar 2
Kemudian kita bisa membayangkan menaburkan beras di
atas gambar tersebut. Kita bisa menyebut kejadian tersebut sebagai kejadian
dengan sampel acak. Karena acak itulah, kita bisa memperkirakan perbandingan
jumlah butir beras yang jatuh di daerah berwarna jingga dengan yang jatuh di
daerah putih.
Bila kita mendefinisikan x sebagai variabel acak
dari kejadian butiran beras jatuh di daerah jingga (lingkaran) dan y sebagai
variabel acak dari kejadian butiran beras jatuh di daerah persegi
(keseluruhan), sementara P(x) dan P(y) adalah kemungkinan terjadinya kejadian
tersebut, maka dapat disimpulkan hal-hal seperti di bawah ini.
Misalnya radius dari lingkaran adalah 1 satuan
panjang. Untuk setiap butiran beras yang jatuh kita bisa mendapatkan 2 angka
acak. Angka-angka tersebut adalah angka a dan b yang merupakan kordinat dari
tempat jatuhnya butiran beras. Kemudian kita bisa menghitung jarak dari titik
asal (0,0) dan mengambil kesimpulan. Hasil jarak yang kurang dari 1 berarti
butiran beras jatuh di dalam daerah jingga.
Bila kita telah mendapatkan nilai P(x) dan P(y),
sesungguhnya kita bisa langsung menghitung π namun angka yang dihasilkan tidak
akan memuaskan.
Namun untuk mendapatkan hasil π yang memuaskan
ternyata dibutuhkan butiran beras dalam jumlah besar. Untuk mempermudah, kita
bisa membuat komputer menghasilkan angka-angka acak.
Bila kita melakukannya berjuta-juta kali, kita akan
mendapatkan P(x) dan P(y) yang merupakan jumlah terjadinya kejadian x/y dibagi
jumlah percobaan yang dilakukan. Setelah mendapatkan P(x) dan P(y) (atau cukup
jumlah kejadian x dan y), kita dapat menghitung besar π dengan hasil yang
memuaskan.
Bila kita melakukannya berjuta-juta kali, kita akan
mendapatkan P(x) dan P(y) yang merupakan jumlah terjadinya kejadian x/y dibagi
jumlah percobaan yang dilakukan. Setelah mendapatkan P(x) dan P(y) (atau cukup
jumlah kejadian x dan y), kita dapat menghitung besar π dengan hasil yang
memuaskan. Metode ini termasuk kepada metode pembalikan seperti telah
disebutkan sebelumnya.
D. Penerapan
Metode Monte Carlo di Bidang Permainan Komputer
Penerapan metode ini juga terdapat pada banyak
permainan komputer. Antara lain permainan Go (semacam catur dari Jepang) dan
battleship.
Penerapan yang akan dibahas adalah dalam permainan
battleship. Metode seperti ini juga ada di permainan bawaan Windows yaitu
Minesweeper.
Di bawah ini adalah gambar dari permainan tersebut.
Gambar 5
Tujuan dari permainan ini adalah menebak
di mana lokasi kapal lawan. Pada keadaan awal, lokasi kapal sama sekali tidak
diketahui. Pemain pun menebak-nebak secara acak. Ketika akhirnya salah satu
tebakan mengenai kapal, maka akan muncul warna merah sebagai tanda. Karena kita
mengetahui bahwa kapal sebesar empat satuan panjang, maka hanya ada dua
kemungkinan lokasi kapal. Hal tersebut bisa dilihat di gambar B. Kemungkinan
pun semakin mengerucut sehingga kita hanya perlu menebak 4 ke kanan atau 4 ke
bawah. Hingga akhirnya pada bagian C kita bisa tahu di mana posisi kapal lawan.
E. Penerapan Metode Monte Carlo di
Bidang Lain
Metode Monte Carlo juga bisa digunakan
untuk mensimulasikan reaksi dan interaksi yang kompleks dalam bidang keilmuan
fisika dan kimia.
Di bidang ilmu grafis, metode ini
digunakan untuk pelacakan objek.
Masih banyak lagi penerapan metode Monte
Carlo di bidang ilmu lainnya.
